Mit einer Formel, die ausgeschrieben eine Million A4-Seiten lang ist, haben Linzer Mathematiker jetzt einen Beweis geschafft, an dem sich ihre Kollegen weltweit 30 Jahre lang die Zähne ausbissen.

Ausgedruckt und hintereinander gelegt, hätten die Formelseiten eine Länge von 295 Kilometern, etwas mehr als die Strecke Linz-Graz. Welches Problem braucht zu seiner Lösung so eine Mega-Formel? Es handelt sich um die „planaren Partitionen“, mit denen sich Manuel Kauers vom Institut für Symbolisches Rechnen der Universität Linz mit seinem Kollegen Christoph Koutschan und Doron Zeilberger von der Rutgers University in New Jersey (USA) befasst hat.

Eine Partition ist die Darstellung einer ganzen Zahl als Summe anderer ganzer Zahlen. Eine mögliche Partition von 5 wäre etwa 1+1+1+2. Bei planaren Partitionen werden die Zahlen nun nicht in Zeilen, sondern als Tabelle notiert. So werden die Möglichkeiten der Unterteilungen vervielfacht.

Als Denkhilfe kann man sich ein Schachbrettmuster vorstellen, auf dem aus Würfeln bestehende Türme stehen. Wobei das Schachbrett der Tabelle und die Türme den Zahlen entsprechen (siehe Bild). Der Aufbau folgt fixen Regeln: Kein Turm darf höher sein als die Länge der Grundfläche und auch nicht höher als ein Turm dahinter oder links davon. Die Mathematiker interessiert nun, wie viele verschiedene Anordnungen sich auf einer bestimmten Grundfläche bauen lassen. Ohne Zusatzregeln ist das relativ einfach, schwieriger wird es, wenn die Anordnung bestimmte Symmetrien oder andere Vorgaben aufweisen soll.

Für eine spezielle Vorgabe, die „total symmetrischen planaren Partitionen“, hatten zwei US-Mathematiker schon 1983 eine Vermutung für eine allgemein gültige Formel. Doch sie blieb seither unbewiesen – bis die Linzer kamen.

Computer-Arbeit

Ohne die Errungenschaften des digitalen Zeitalters wäre ihre Erkenntnis unmöglich gewesen. In Wirklichkeit verstehe er von planaren Partitionen gar nicht viel, scherzt Kauers, der Computer habe den Hauptteil der Arbeit gemacht. „Mein Fachgebiet ist Computeralgebra, die technische Unterstützung ist für Beweise, die mit der Hand gerechnet Millionen Jahre dauern würden, einfach notwendig“, sagt der Forscher.

Entsprechende Algorithmen, mit denen man auch den aktuellen Beweis Kauers hätte führen können, gibt es seit den 90er-Jahren. Allerdings waren sie so kompliziert, dass selbst der Computer ewig hätte rechnen müssen. „Wir haben diese alten Algorithmen verfeinert und so viel Rechenzeit eingespart. Unsere Hilfsformel findet auf etwa einer Million A4-Seiten Platz. Sie ist groß, aber viel einfacher als die alten Formeln“, sagt Kauers.

Mit dem Beweisverfahren konnten die Linzer auch zeigen, dass Computerprogramme mathematische Probleme knacken können, an denen Mathematiker scheitern. (hip)

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